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| CINTA "SIN FIN" DE MÖEBIUS Seguir posición de franja de color rojo (o de la amarilla) |
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| CINTA DE MÖEBIUS ESCHER |
La banda o cinta de Möebius, recibe también el nombre de bucle, anillo o cinturón de Möebius.
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| August Ferdinand MÖEBIUS |
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| CINTA DE MÖEBIUS |
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AMoebiusband_wikipedia_animation.ogg
Desde el punto de vista matemático, es un objeto no orientable. También es una superficie reglada.
Fue descubierta en 1858, de manera casi simultánea, por August Ferdinand Möebius y por Johann Benedict Listing matemáticos alemanes.
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| Carl Friedrich GAUSS Billete de 10 Marcos |
CONSTRUCCIÓN DE LA CINTA DE MÖEBIUS
Con una cinta o tira flexible, por ejemplo una tira de papel, se pegan sus extremos haciendo una torsión o media vuelta (180º) en uno de ellos.
Se adhiere en anverso de un extremo con el reverso del otro extremo.
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| CONSTRUCCIÓN DE CINTA DE MÖEBIUS |
PROPIEDADES
La cinta de Möebius tiene las siguientes características:
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| CINTA DE MÖEBIUS |
- Sólo tiene una cara y por tanto no se puede hablar de cara interior o de cara exterior. Si empezamos a colorear la superficie de una cinta de Möbius por la «teórica» cara exterior, prosiguiendo sin parar de colorear, al final quedará también coloreada la denominada “teóricamente” cara interior. Es decir se coloreará toda la cinta.
- Solo tiene un borde pues siguiendo el borde con un dedo o con lápiz de color, apreciamos que alcanzaremos el punto de partida, pues lo habremos marcado oportunamente, tras haber recorrido la totalidad del borde como podemos demostrar poniendo marcas a lo largo de todo en recorrido del dedo.
- Su superficie no es orientable como se evidencia dibujando una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.
- Otras propiedades:
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| ESCULTURA DE MAX BILL |
1. Si se realiza el corte justo en el centro del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.
2. Si se realiza el corte, no en la mitad exacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.
UTILIDAD de la CINTA DE MÖEBIUS
Una cinta transportadora si se utiliza solo un lado se desgastaría con más rapidez que si se usan sus dos caras. Si en cambio se hace rodar la misma cinta mediante unos cilindros rodantes adoptando la forma de la cinta de Möebius, al moverse los cilindros el rozamiento de la banda se realizaría por las dos caras y duraría por tanto el doble de tiempo.
Otras patentes cubren aplicaciones diversas: cintas transportadoras que sufren igual desgaste por ambos lados, bandas abrasivas, o un filtro auto limpiante destinado a maquinas de limpieza en seco, que por tener la forma de banda de Möebius facilita el lavado por ambas caras tras sociedad depositada en el filtro al ir este dando vueltas.
Se han otorgado diversas patentes para cintas transportadoras diseñadas a fin de que sufran igual desgaste por ambos lados
Las bandas de Möebius tienen otras utilidades prácticas. En 1923, Lee Forest obtuvo la patente norteamericana Nº 1.442.632 para una película fotográfica de esta forma, en la que podrían gravarse ambas caras.
Una cinta de una máquina de escribir o de impresión puede utilizar los dos lados si se realiza en un punto una torsión de 180º en la forma que lo hace la Cinta de Möebius.
La misma idea ha sido aplicada a cintas magnetofónicas, con lo que la cinta retorcida puede funcionar durante el doble de tiempo que lo que haría otra cinta normal.
En 1949 O.H. obtuvo la patente Nº 2.479.229. relativa a una banda de Möebius abrasiva. En 1963 J.W. Jacobs consiguió la patente Nº 3.302.795. para un filtro autolimpiante destinado a máquinas de limpieza en seco. Al tener la forma de banda de Möebius se facilita el lavado por ambas caras de la suciedad depositada en el filtro al ir este dando vueltas.
Los diseñadores gráficos utilizan esta banda tanto para fines publicitarios como artísticos.
Woldor R.Tobler sugirió construir un mapamundi sobre una cinta de Möebius, de forma que el borde coincidiera con los polos y los paralelos y meridianos quedaran uniformemente separados. De trazarse adecuadamente se podría pinchar el mapa por un punto cualquiera y al asomar la punta por el otro lado señalaría su antípoda esférico.
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| MOSAICO DE URANO . BANDA DE MÖEBIUS MUNICH |
Esta forma geométrica también se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.
LA TOPOLOGIA se ocupa de aquellas propiedades de las figuras geométricas del espacio que no varían cuando el espacio se dobla, da la vuelta, estira o deforma de alguna manera.
La topología es un campo muy activo de las matemáticas modernas. Sirva de ejemplo el problema planteado por Francis Guthrie sobre el mínimo número de colores diferentes que se precisan para colorear un mapa, de forma que no haya dos regiones adyacentes con el mismo color.
Este problema fue resuelto por Kenneth Appel y Wolfgang Haken usando un potente ordenador y demostraron que eran suficientes cuatro colores, con independencia del tamaño o del número de regiones.
https://youtu.be/WPVJh57zSIw
MÖEBIUS
La banda o cinta de Möebius debe su nombre al matemático alemán August Ferdinand Möebius, que fue gran investigador en topología a principios del siglo XIX. Sus aportaciones científicas fueron muy importantes en su época
August Ferdinand Möebius (o Möbius, 17/11/1790 Schupforta, Sajonia, Alemania- 26/09/1868 en Leipzig - Alemania) fue matemático y astrónomo teórico.
Era descendiente de Martín Lutero
Fue profesor de Astronomía de la Universidad de Leipzig y director de su observatorio astronómico. Sus libros 1827), Principios de Astronomía, y Manual de Estática, fueron muy bien valorados y apreciados.
· En Geometría analítica en su “Cálculo baricéntrico” fue el introductor de las coordenadas homogéneas e investigó las transformaciones proyectivas.
· En Astronomía describió el cálculo de la ocultación de las estrellas por los planetas.
En su obra Los elementos de la mecánica celeste (1843) ofreció una completa exposición de la mecánica celeste sin necesidad de recurrir a las matemáticas superiores.
Su nombre está históricamente ligado a sus estudios de topología. Möebius fue el primero en introducir las coordenadas homogéneas en geometría proyectiva.
Fue el primero en considerar la posibilidad de construcción de figuras topológicas no orientables.
El símbolo matemático ∞, símbolo de infinito “no” hace referencia a la cinta de Möebius sino que su introducción se atribuye al matemático inglés John Wallis (1616-1703)
Antes de que Francis Guthrie hubiera presentado el problema de los cuatro colores para colorear mapas, en 1840 Moebius había planteado de distinta manera lo siguiente: «Hubo una vez un rey que tenía cinco hijos. En su testamento estipuló que a su muerte, el reino habría de dividirse por sus hijos en cinco regiones, de tal forma que cada región tuviese una frontera común con cada una de las otras cuatro. ¿Es posible cumplir con los términos del testamento?». La respuesta es negativa y fácil de demostrar, pero ilustra el interés de Moebius en las ideas topológicas, un área en la cual se le recuerda mucho como pionero.
Moebius realizó el descubrimiento de la cinta en 1858 y aunque el nombre de banda de Moebius está universalizado, otro matemático, Listing le precedió en unos pocos meses (julio de 1858). Johann Benedict Listing,
trabajaba en la fórmula de Euler cuando descubrió la idea. Su trabajo lo publicó en 1861 mientras que el de Moebius no fue publicado hasta 1869, un año después de su muerte. El trabajo de Listing incluyó resultados sobre giros, semigiros, cortes, divisiones y longitudes.
CINTA DE MÖEBIUS EN EL ARTE
MÖEBIUS y ESCULTURA
Max Bill, arquitecto, diseñador y ensayista suizo, discípulo de Gropius en la Bauhaus
utilizó la Cinta de Möebius en muchas de sus obras. No conocía la existencia de este objeto que sin embargo llamaba “cinta sin fin” (Endless Gibbon).pero lo realizó buscando una idea para una escultura para poner encima de un dispositivo eléctrico para sustituir las llamas.
Decía de las “cintas sin fin” que su eficacia residía en parte en su valor simbólico. “Son modelos para la reflexión y la contemplación".
Una versión en piedra de su cinta sin fin está en el Centro Georges Pompidou de Paris.
Robert R. Wilson cuenta con varias obras en los jardines del gran centro europeo de investigación Fermilab y entre ellas una muy personal, triangular de la cinta de Moebius (año 2000).
http://www.fnal.gov/projects/history/sculpture.html
Robert R. Wilson desde 1980 tiene otra escultura diferente de bronce en el Science Center de la Harvard University in Cambridge, Mass. con la misma inspiración
John Robinson, artista simbóliista inglés, cuenta con obras que embellecen diversos museos e instituciones mundiales, entre ellas varias versiones de Eternidad.
José de Rivera es autor de la gran escultura Infinito, ubicada en la entrada del National Museum of American History; en Washington.
Charles O. Perry, cuenta la obra denominada Continuum, en esta misma línea de la cinta de Möebius en la entrada del National Air and Space Museum. Otras versiones escultóricas de Perry se encuentran distribuidas por cerca de 40 ciudades por todo el mundo.
Otros escultores inspirados en Möebius: Brent Collins, Helaman Ferguson, Cliff Long, Keizo Ushido, Tom Longtin
MÖEBIUS y ARQUITECTURA
La misma inspiración de la cinta de Möebius se encuentra en proyectos y realizaciones arquitectónicas como el edificio Max Reinhardt Haus, de Peter Eisenman, o la Möbius House Het Gooi, de Ben Van Berkel.
Otros profesionales que han confesado su inspiración en la forma de Moebius está los arquitectos Zaha Hadid, Stephen Perrella y Gonzalo Valez Jahn, el ingeniero Helmut Cerovsek, o el ingeniero informático y artista Carlo Sequin.
MÖEBIUS y LITERATURA
Julio Cortazar en su libro de cuentos "Queremos tanto a Glenda", publicado en 1980, tiene una composición titulada Anillo de Moebius
MÖEBIUS y CINE
J. Deutsch, en 1950, escribió el cuento “A Subway Named Moebius” en la que se basó la película Argentina “Moebius”, dirigida por Gustavo R. Mosquera y estrenada el 17 de Octubre de 1996.
En esta película se hace referencia a la teoría de la cinta de Möbius, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires.
Al protagonista, un joven topólogo, le encargan recuperar un convoy de tren-metro, misteriosamente desaparecido, que en virtud del progresivo aumento de la complejidad del trazado, hace el recorrido indescriptible y ha transgredido los límites espacio-temporales de nuestra dimensión.
MÖEBIUS y SÍMBOLOS GRÁFICOS, LOGOTIPOS, EMBLEMAS…
El símbolo gráfico internacional de reciclaje y los de otras actividades similares, están basados en la imagen de la cinta de Möebius.
Los partidos humanistas afiliados a la Internacional Humanista utilizan como logotipo un símbolo gráfico basado en la cinta de Möebius
MÖEBIUS y DISEÑO
Numerosos logotipos (Caixanova, Visual Studio de Microsoft, etc...), juegos en parques para niños, escaleras de Möebius como la Pretzel Stairs Sculpture, situada en Montreal en el Boulevard de Maisonneuve, junto a la entrada de la estación de metro Papineau.
Diseño de sicodélicos zapatos, etc guardan todos ellos la belleza y el misterio de la cinta sin fin.
https://youtu.be/WPVJh57zSIw
MÖEBIUS
La banda o cinta de Möebius debe su nombre al matemático alemán August Ferdinand Möebius, que fue gran investigador en topología a principios del siglo XIX. Sus aportaciones científicas fueron muy importantes en su época
Era descendiente de Martín Lutero
Fue profesor de Astronomía de la Universidad de Leipzig y director de su observatorio astronómico. Sus libros 1827), Principios de Astronomía, y Manual de Estática, fueron muy bien valorados y apreciados.
· En Geometría analítica en su “Cálculo baricéntrico” fue el introductor de las coordenadas homogéneas e investigó las transformaciones proyectivas.
· En Astronomía describió el cálculo de la ocultación de las estrellas por los planetas.
En su obra Los elementos de la mecánica celeste (1843) ofreció una completa exposición de la mecánica celeste sin necesidad de recurrir a las matemáticas superiores.
Su nombre está históricamente ligado a sus estudios de topología. Möebius fue el primero en introducir las coordenadas homogéneas en geometría proyectiva.
Fue el primero en considerar la posibilidad de construcción de figuras topológicas no orientables.
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| PRAGA |
El símbolo matemático ∞, símbolo de infinito “no” hace referencia a la cinta de Möebius sino que su introducción se atribuye al matemático inglés John Wallis (1616-1703)
Antes de que Francis Guthrie hubiera presentado el problema de los cuatro colores para colorear mapas, en 1840 Moebius había planteado de distinta manera lo siguiente: «Hubo una vez un rey que tenía cinco hijos. En su testamento estipuló que a su muerte, el reino habría de dividirse por sus hijos en cinco regiones, de tal forma que cada región tuviese una frontera común con cada una de las otras cuatro. ¿Es posible cumplir con los términos del testamento?». La respuesta es negativa y fácil de demostrar, pero ilustra el interés de Moebius en las ideas topológicas, un área en la cual se le recuerda mucho como pionero.
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| Johann Benedict LISTING |
trabajaba en la fórmula de Euler cuando descubrió la idea. Su trabajo lo publicó en 1861 mientras que el de Moebius no fue publicado hasta 1869, un año después de su muerte. El trabajo de Listing incluyó resultados sobre giros, semigiros, cortes, divisiones y longitudes.
CINTA DE MÖEBIUS EN EL ARTE
MÖEBIUS y MÚSICA
Johann Sebastian Bach compuso una pieza que encierra ciertos misterios, y que es una joya de la arquitectura musical. Es la ofrenda musical y en concreto el conocido “canon del cangrejo” cuya partitura, al ejecutarse, guarda semejanza con la forma de una banda de Möebius.
Está constituida por apenas unos compases que acaba donde empieza y puede ser interpretada en ambas direcciones y además superponerse, creando un acompañamiento y un conjunto armónico-melódico sin fin.
https://es.wikipedia.org/wiki/Banda_de_M%C3%B6bius
Nicolas Slonimsky (1894-1995), fue profesor y compositor. Posee una pieza llamada Möebius Strip Tease. Esta obra es una banda de Möebius en su composición. Es una pieza para dos cantantes, parte de ella es el siguiente fragmento.
MÖEBIUS y ARTES GRÁFICAS
Maurits Cornelis Escher, admirado y reconocido artista gráfico del Siglo XX (1898-1972) utilizó la banda de Möebius como motivo principal en diversas obras.
Realizó en 1963, una variante de la cinta, la Cinta de Möebius II que se convirtió en una de sus obras más conocidas.
Con el uso de cintas de Möebius, Escher quiso también expresar la idea del infinito como un movimiento constante, sin principio ni final.
También llega a trabajar con otras estructuras topológicas, como son los nudos, pero que al fin y al cabo no son sino cintas de Möebius pero originadas a partir de una "cinta" con forma de cilindro o de ortoedro. En todas ellas se sugiere el movimiento sin fin.
Johann Sebastian Bach compuso una pieza que encierra ciertos misterios, y que es una joya de la arquitectura musical. Es la ofrenda musical y en concreto el conocido “canon del cangrejo” cuya partitura, al ejecutarse, guarda semejanza con la forma de una banda de Möebius.
Está constituida por apenas unos compases que acaba donde empieza y puede ser interpretada en ambas direcciones y además superponerse, creando un acompañamiento y un conjunto armónico-melódico sin fin.
https://es.wikipedia.org/wiki/Banda_de_M%C3%B6bius
Nicolas Slonimsky (1894-1995), fue profesor y compositor. Posee una pieza llamada Möebius Strip Tease. Esta obra es una banda de Möebius en su composición. Es una pieza para dos cantantes, parte de ella es el siguiente fragmento.
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| Maurits Cornelis ESCHER |
Maurits Cornelis Escher, admirado y reconocido artista gráfico del Siglo XX (1898-1972) utilizó la banda de Möebius como motivo principal en diversas obras.
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| TRES PECES ESCHER |
Con el uso de cintas de Möebius, Escher quiso también expresar la idea del infinito como un movimiento constante, sin principio ni final.
También llega a trabajar con otras estructuras topológicas, como son los nudos, pero que al fin y al cabo no son sino cintas de Möebius pero originadas a partir de una "cinta" con forma de cilindro o de ortoedro. En todas ellas se sugiere el movimiento sin fin.
MÖEBIUS y ESCULTURA
Max Bill, arquitecto, diseñador y ensayista suizo, discípulo de Gropius en la Bauhaus
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| MAX BILL Cinta sin fin |
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| Endless Gibbon - MAX BILL Centro Pompidou - PARIS |
Decía de las “cintas sin fin” que su eficacia residía en parte en su valor simbólico. “Son modelos para la reflexión y la contemplación".
Una versión en piedra de su cinta sin fin está en el Centro Georges Pompidou de Paris.
Robert R. Wilson cuenta con varias obras en los jardines del gran centro europeo de investigación Fermilab y entre ellas una muy personal, triangular de la cinta de Moebius (año 2000).
http://www.fnal.gov/projects/history/sculpture.html
Robert R. Wilson desde 1980 tiene otra escultura diferente de bronce en el Science Center de la Harvard University in Cambridge, Mass. con la misma inspiración
John Robinson, artista simbóliista inglés, cuenta con obras que embellecen diversos museos e instituciones mundiales, entre ellas varias versiones de Eternidad.
José de Rivera es autor de la gran escultura Infinito, ubicada en la entrada del National Museum of American History; en Washington.
Charles O. Perry, cuenta la obra denominada Continuum, en esta misma línea de la cinta de Möebius en la entrada del National Air and Space Museum. Otras versiones escultóricas de Perry se encuentran distribuidas por cerca de 40 ciudades por todo el mundo.
Otros escultores inspirados en Möebius: Brent Collins, Helaman Ferguson, Cliff Long, Keizo Ushido, Tom Longtin
MÖEBIUS y ARQUITECTURA
La misma inspiración de la cinta de Möebius se encuentra en proyectos y realizaciones arquitectónicas como el edificio Max Reinhardt Haus, de Peter Eisenman, o la Möbius House Het Gooi, de Ben Van Berkel.
Otros profesionales que han confesado su inspiración en la forma de Moebius está los arquitectos Zaha Hadid, Stephen Perrella y Gonzalo Valez Jahn, el ingeniero Helmut Cerovsek, o el ingeniero informático y artista Carlo Sequin.
MÖEBIUS y LITERATURA
Julio Cortazar en su libro de cuentos "Queremos tanto a Glenda", publicado en 1980, tiene una composición titulada Anillo de Moebius
MÖEBIUS y CINE
J. Deutsch, en 1950, escribió el cuento “A Subway Named Moebius” en la que se basó la película Argentina “Moebius”, dirigida por Gustavo R. Mosquera y estrenada el 17 de Octubre de 1996. En esta película se hace referencia a la teoría de la cinta de Möbius, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires.
Al protagonista, un joven topólogo, le encargan recuperar un convoy de tren-metro, misteriosamente desaparecido, que en virtud del progresivo aumento de la complejidad del trazado, hace el recorrido indescriptible y ha transgredido los límites espacio-temporales de nuestra dimensión.
MÖEBIUS y SÍMBOLOS GRÁFICOS, LOGOTIPOS, EMBLEMAS…
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| PARTIDOS HUMANISTAS Internacional Humanista |
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| SÍMBOLO DE RECICLAJE |
Los partidos humanistas afiliados a la Internacional Humanista utilizan como logotipo un símbolo gráfico basado en la cinta de Möebius
MÖEBIUS y DISEÑO
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| LOGOTIPO con CINTA DE MÖEBIUS |
Numerosos logotipos (Caixanova, Visual Studio de Microsoft, etc...), juegos en parques para niños, escaleras de Möebius como la Pretzel Stairs Sculpture, situada en Montreal en el Boulevard de Maisonneuve, junto a la entrada de la estación de metro Papineau.
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| Pretzel Stairs Sculpture MONTREAL |
Diseño de sicodélicos zapatos, etc guardan todos ellos la belleza y el misterio de la cinta sin fin.
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| EVOLUCIÓN DE SILLÓN BARCELONA A ZAPATO MÖEBIUS |
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| SILLÓN BARCELONA Base de Calzado MÖEBIUS |
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| ZAPATO DISEÑO - ULTRA MÖBIUS |
Luis B. GUERRERO CABRERA
Junio 2015
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Luis B. GUERRERO CABRERA, ha desarrollado un análisis sobre la conocida Banda o Cinta de MÖEBIUS.
ResponderEliminarSe hace un pequeño recordatorio de la genial figura de AUGUST FERDINAND MÖEBIUS y de su importancia en una ciencia poco conocida como es la TOPOLOGIA.
Se analiza la figura geométrica que supuso el hecho de realizar una simple torsión de 180º aplicada a una cinta circular cerrada, para convertirla en otra figura, también cerrada, pero con unas características y propiedades muy especiales.
El análisis matemático de esta interesante y sencilla figura, que eludimos a propósito, supuso un enorme avance en el estudio de las matemáticas de mitad del Siglo XIX.
La utilidad de una cinta “sin fin” tiene en el siglo XXI una continuidad de las grandes aplicaciones que fueron implementadas durante el siglo XX.
Puede resultar una cuestión árida pero resultará entusiasmante para aquellas mentes abiertas con afán de redescubrir viejos conceptos tal vez algo arrumbados en la memoria.
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